第 3 讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．热点一 导数的几何意义1．函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同．例 1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x答案 D解析 方法一 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.方法二 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a 为偶函数，∴a＝1，即 f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.(2)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋1 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋2)的切线，则实数 b＝________.答案 ln 2解析 设直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝ln x＋1 和曲线 y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，ln x1＋1)，(x2，ln(x2＋2))． 直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋1 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋2)的切线，∴＝，即 x1－x2＝2.∴切线方程为 y－(ln x1＋1)＝(x－x1)，即为 y＝＋ln x1或 y－ln(x2＋2)＝(x－x2)，即为 y＝＋＋ln x1，∴＝0，则 x1＝2，∴b＝ln 2.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练 1 (1)(2018·全国Ⅱ)曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．答案 2x－y＝0解析 y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.令 x＝0，得 y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2...
