第 4 讲 导数的热点问题[考情考向分析] 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、不等式结合，证明不等式和求参数范围问题是热点题型，中高档难度．热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝2x－ln x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：1＋ln 2≤f(x)<＋1.(1)解 由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令 f′(x)＝0，得 x＝.所以 f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)证明 由(1)知 f(x)min＝f ＝1＋ln 2.所以 1＋ln 2≤f(x)成立．另一方面，要证 f(x)<＋1 成立．只要证＋2ln x－4x＋2>0，设函数 g(x)＝＋2ln x－4x＋2，则 g′(x)＝＋－4＝.令 t(x)＝e2x－1－2x，x∈(0，＋∞)．则 t′(x)＝2(e2x－1－1)，由 t′(x)＝0 得 x＝，所以当 x∈时，t′(x)<0，即 t(x)为减函数；当 x∈时，t′(x)>0，即 t(x)为增函数，所以 t(x)≥t＝0.令 g′(x)＝＝0，得 x＝，所以当 x∈时，g′(x)<0，g(x)为减函数；当 x∈时，g′(x)>0，g(x)为增函数，则 g(x)min＝g＝2－2ln 2>0，即当 x∈(0，＋∞)时，＋2ln x－4x＋2>0，综上，1＋ln 2≤f(x)<＋1 成立．思维升华 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若 f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则 f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且 x10 时，证明：存在 x0>0，使得 f(x0)≤－a＋1.(1)解 函数的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝＋＝(x>0)，若 a≤0，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)；若 a>0，当 0时，f′(x)>0，所以 f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明 由(1)可知，当 a>0 时，f(x)min＝f ＝－a，所以存在 x0>0，使得 f(x0)≤－a＋1等价于－a≤－a＋1，设 g(a)＝a－a＋1(a>0)，则 g′(a)＝·－1＝(－)，所以 g(a)在(0,3)上...
