规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (15 分)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．审题路线图 ―――――→―→―→.规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0)．若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若 a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减.5 分所以当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当 a>0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6 分(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；当 a>0 时，f(x)在 x＝处取得最大值，最大值为 f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此 f >2a－2 等价于 ln a＋a－1<0.12 分令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当 0
1 时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0,1).15 分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．第二步定符号：通过讨论确定 f′(x)的符号．第三步写区间：利用 f′(x)的符号确定函数的单调性．第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确给 1 分；(2)分类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分；(3)求出最大值给 3 分；(4)构造函数 g(a)＝ln a＋a－1 给 3 分；(5)通过分类讨论得出 a 的范围，给 3 分．跟踪演练 8 (2018·天津)已知函数 f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中 a>1.(1)求函数 h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间；(2)若曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线 y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线平行证明 x1＋g(x2)＝－；(3)证明当 a≥时，存在直线 l，使 l 是曲线 y＝f(x)的切线，也是曲线 y＝g(x)的切线．(1)解 由已知得 h(x)＝ax－xln a，则 h′(x)＝axln a－ln a．令 h′(x)＝0，解得 x＝0.由 a>1，可知当 x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗所以函数 h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)证明 由 f′(x)＝axln a，可得曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ln a.由 g′(x)＝，可得曲线 y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行，所以有ln a＝，...
