规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (15 分)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．审题路线图 ―――――→―→―→
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0)．若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若 a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减
6 分(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；当 a>0 时，f(x)在 x＝处取得最大值，最大值为 f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1
因此 f >2a－2 等价于 ln a＋a－11，可知当 x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗所以函数 h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)证明 由 f′(x)＝axln a，可得曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ln a
由 g′(x)＝，可得曲线 y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为
因为这两条切线平行，所以有ln a＝，
