第 3 讲 利用导数研究函数的单调性高考定位 理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论．真 题 感 悟 1．(2017·浙江卷)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0 的解集对应 y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0 的解集对应 y＝f(x)的减区间，验证只有 D 选项符合．答案 D2．(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数 a≤0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)≥0，求 a 的取值范围．解 (1)函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且 a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．① 若 a＝0，则 f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．② 若 a<0，则由 f′(x)＝0，得 x＝ln .当 x∈时，f′(x)<0；当 x∈时，f′(x)>0.故 f(x)在上单调递减，在区间上单调递增．(2)① 当 a＝0 时，f(x)＝e2x≥0 恒成立．② 若 a<0，则由(1)得，当 x＝ln 时，f(x)取得最小值，最小值为 f＝a2，故当且仅当a2≥0，即 a≥－2e 时，f(x)≥0.综上，a 的取值范围是[－2e，0]．考 点 整 合1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)在点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，如果 f′(x)＞0，则 y＝f(x)在该区间为增函数；如果 f′(x)＜0，则 y＝f(x)在该区间为减函数．(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.热点一 函数图象的切线问题【例 1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)曲线 y＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．(2)(2018·丽水调研)已知函数 f(x)＝x2－(x>0)，g(x)＝(x>0)，过点且与 f(x)相切的直线与 g(x)也相切．则 k...
