第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．[典型例题] (1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为 α 的直线 l 经过抛物线 Г：y2＝2px(p>0)的焦点 F，与抛物线 Г 交于 A，B 两点，设点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方．若＝m，则 cos α的值为( )A. B.C. D.(2)椭圆＋y2＝1 上到点 C(1，0)的距离最小的点 P 的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆＋＝1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方．若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是________．【解析】 (1)设抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 l：x＝－.如图所示，分别过点 A，B 作 AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为 M，N.在三角形 ABC 中，∠BAC 等于直线 AB 的倾斜角 α，由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，根据抛物线的定义得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，在直角三角形 ABC 中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故选 A.(2)设点 P(x，y)，则|PC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋＝x2－2x＋2＝＋.因为－2≤x≤2，所以当 x＝时，|PC|min＝，此时点 P 的坐标为或.(3)通解：依题意，设点 P(m，n)(n>0)，由题意知 F(－2，0)，所以线段 FP 的中点 M 在圆 x2＋y2＝4 上，所以＋＝4，又点 P(m，n)在椭圆＋＝1 上，所以＋＝1，所以 4m2－36m－63＝0，所以 m＝－或 m＝(舍去)，n＝，所以 kPF＝＝.优解：如图，取 PF 的中点 M，连接 OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设1椭圆的右焦点为 F1，连接 PF1.在△PFF1中，OM 为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为 M 为 PF 的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形 OMF 中，过 O 作OH⊥MF 于点 H，所以|OH|＝＝，所以 kPF＝tan∠HFO＝＝.【答案】 (1)A (2)或 (3) (1)圆锥曲线定义的应用① 已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要...
