第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)若 sin α＝，则 cos 2α＝( )A. B. C.－ D.－解析 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.答案 B2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为，则 C＝( )A. B. C. D.解析 根据题意及三角形的面积公式知 absin C＝，所以 sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.答案 C3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝，b＝2，A＝60°，则 sin B＝________，c＝________.解析 因为 a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得 sin B＝＝＝.由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A 可得 c2－2c－3＝0，所以 c＝3.答案 34.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC＝________.解析 依题意作出图形，如图所示，则 sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知 AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则 sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.所以 S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝.因为 cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝，所以 CD＝.由余弦定理，得 cos∠BDC＝＝.答案 考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β；tan(α±β)＝.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 tan φ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2...
