第 3 讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝( )A.4 B.3 C.2 D.0解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选 B.答案 B2.(2018·浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为，向量 b 满足 b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )A.－1 B.＋1C.2 D.2－解析 法一 设 O 为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由 b2－4e·b＋3＝0得 x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点 B 的轨迹是以C(2，0)为圆心，1 为半径的圆.因为 a 与 e 的夹角为，所以不妨令点A 在射线 y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝－1.故选 A.法二 由 b2－4e·b＋3＝0 得 b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设 b＝OB，e＝OE，3e＝OF，所以 b－e＝EB，b－3e＝FB，所以EB·FB＝0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设 a＝OA，作射线 OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA|－|BC|≥－1.故选 A.答案 A3.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则 λ 的值为________.解析 AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝·(λAC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得 λ＝.答案 4.(2016·浙江卷)已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则 a·b 的最大值是________.解析 法一 由已知可得：≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量 e 都成立.∴≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b，即 6≥5＋2a·b，∴a·b≤.法二 由题意，令 e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤可得|cos α|＋2|cos β|≤ ①.令 sin α＋2sin β＝m ②，① 2＋② 2得 4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m2对一切实...
