第 6 讲 空间向量及其运算最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在实数 λ，使得 b ＝ λ a .推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP＝OA＋ta①其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB或OP＝(1 － t ) OA ＋ t OB .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a ＋ y b ，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有OP＝OM ＋ x MA ＋ y MB 或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得 a＝λ1e1＋ λ 2e2＋ λ 3e3，空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ，其范围是[0 ， π ] ，若〈a，b〉＝，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.② 两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则| a || b | cos 〈 a ， b 〉 叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即a·b＝| a || b | cos 〈 a ， b 〉 .(2)空间向量数量积的运算律① 结合律：(λa)·b＝λ ( a·b ) ；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b ＋ a·c .4.空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋...
