第 7 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知 识 梳 理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λ n 2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为ml∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0 l⊥αn∥m⇔n＝λ m 平面 α，β 的法向量分别为 n，mα∥βn∥m⇔n＝λ m α⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )(4)若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥β B.α⊥βC.α，β 相交但不垂直 D.以上均不对解析 n1≠λn2，且 n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β 不平行，也不垂直.答案 C3.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)C. D.解析 设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则化简得∴x＝y＝z.答案 C4.(2017·青岛月考)所图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是________.解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设|AD|＝2，则 A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM＝(－2，0，1)，ON＝(1，0，2)，因此AM·ON＝－2＋0＋2＝0，故 AM⊥ON.答案 垂直5.(2017·杭州调研)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n＝(2，2，4)，若 a＝(1...
