第 6 讲 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0：(1)若 a < c 时，则集合 P 为双曲线；(2)若 a＝c 时，则集合 P 为两条射线；(3)若 a > c 时，则集合 P 为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图 形性 质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Rx ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1( － a ， 0 ) ， A 2( a ， 0 ) A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy ＝ ± x 离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A.(－1，3) B.(－1，)C.(0，3) D.(0，)解析 方程－＝1 表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
