第 3 讲 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1) 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 记 OA ＝ a ， OB ＝ b ， 则 ∠ AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量| a || b |cos __θ 叫做a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos __θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos __θ 的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.( )(5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若 a·b>0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 a·b<0，a 和 b 的夹角可能为 π.(5)由 a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，所以向量 b 和 c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a 等于( )A.－1 B.0 C.1 D.2解析 因为 a＝(1，－1)，b＝(－1...
