（浙江专用）新高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 7 第7讲 立体几何中的向量方法 1 第1课时 空间角教学案-人教版高三全册数学教学案

第 7 讲 立体几何中的向量方法1．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法(a，b 分别为异面直线 l1，l2的方向向量)a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围[0，π]求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝．(3)二面角大小的求法a．如图①，AB，CD 是二面角 αlβ 两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．b．如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos 〈 n 1， n 2〉或－ cos 〈 n 1， n 2〉．2．点到平面的距离的求法如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离d＝.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是 ，二面角的范围是[0，π]．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√[教材衍化]1．(选修 21P104 练习 T2 改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为 45°或180°－45°＝135°.答案：45°或 135°2．(选修 21P112A 组 T6 改编)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为________．解析：以 D 点为原点，以 DA，DC，DD1的正方向为 x 轴，y 轴，z 轴，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系D － xyz ， 设DA ＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则AC＝(－1，1，0)，DE＝，设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，则 cos θ＝|cos〈AC，DE〉|＝.答案：3．(选修 21P117A 组 T4 改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为________．解 析 ： 以 C 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 ...