第 2 课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用) 空间中的距离问题 如图，平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，点 E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点．(1)求证：平面 EFG⊥平面 PAB；(2)求点 A 到平面 EFG 的距离．【解】 如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．(1)证明：因为EF＝(0，1，0)，AP＝(0，0，2)，AB＝(2，0，0)，所以EF·AP＝0×0＋1×0＋0×2＝0，EF·AB＝0×2＋1×0＋0×0＝0，所以 EF⊥AP，EF⊥AB.又因为 AP，AB⊂平面 PAB，且 PA∩AB＝A，所以 EF⊥平面 PAB.又 EF⊂平面 EFG，所以平面 EFG⊥平面 PAB.(2)设平面 EFG 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则所以取 n＝(1，0，1)，又AE＝(0，0，1)，所以点 A 到平面 EFG 的距离 d＝＝＝.(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．① 点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距：点 M 到直线 a 的距离，若直线的方向向量为 a，直线上任一点为 N，则点 M 到直线 a 的距离为 d＝|MN|·sin〈MN，a〉；③线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距：点 M 到平面 α 的距离，若平面 α的法向量为 n，平面 α 内任一点为 N，则点 M 到平面 α 的距离 d＝|MN||cos 〈MN，n〉|＝.(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解． 1．如图，PABCD 是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中 AB＝2，PA＝，则 B1到平面PAD 的距离为________．解析：以 A1为原点，以 A1B1所在直线为 x 轴，A1D1所在直线为 y 轴，A1A 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 A1xyz，则AD＝(0，2，0)，AP＝(1，1，2)，设平面 PAD 的法向量是 m＝(x，y，z)，所以由可得取 z＝1，得 m＝(－2，0，1)，因为B1A＝(－2，0，2)，所以 B1到平面 PAD 的距离 d＝＝.答案：2．如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：平面 A1BC1∥平面 ACD1；(2)求平面 A1BC1与平面 ACD1的距离．解：(1)证明：因为 AA1綊 CC1，所以四边形 ACC1A1为平行四边形，所以 AC∥A1C1.又 AC⊄平面 A1BC1，A1C1⊂平面 A1B...
