第 10 讲 圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线中的定点、定值问题 (2020·杭州七校联考)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x2＋y2＝相切．(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(1，0)的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使得NA·NB为定值？如果有，求出点 N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【解】 (1)因为椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x2＋y2＝相切，所以，解得 c2＝1，a2＝4，b2＝3.所以椭圆 C 的方程为＋＝1.(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，⇒(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则 Δ＞0，，若存在定点 N(m，0)满足条件，则有NA·NB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2＋m2－m(x1＋x2)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋k2＋m2＝－＋k2＋m2＝.如果要使上式为定值，则必须有＝⇒m＝，验证当直线 l 斜率不存在时，也符合．故存在点 N 满足NA·NB＝－.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． (2020·杭州、宁波二市三校联考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点M(m，2)，其焦点为 F′，且|MF′|＝2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆 F：(x－1)2＋y2＝1 相切，切点分别为 A，B，求证：直线 AB 过定点．解：(1)抛物线 C 的准线方程为 x＝－，所以|MF′|＝m＋＝2，又 4＝2pm，即 4＝2p，所以 p2－4p＋4＝0，所以 p＝2，所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.(2)证明：设点 E(0，t)(t≠0)，由已知切线不为 y 轴，设直线 EA：y＝kx＋t，联立，消去 y，可得 k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①因为直线 EA 与抛物线 C 相切，所以 Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即 kt＝1，代入①可得x2－2x＋t2＝0，所以 x＝t2，即 A(t2，2t)．设切点 B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点 O，B 关于直线 EF：y＝－tx＋t 对称，则，解得，即 B.直线 AF 的斜率为 kAF＝(t≠±1)，直线 B...
