第 6 讲 数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( )(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√[教材衍化]1．(选修 22P99B 组 T1 改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验 n 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选 C.凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n＝3.2．(选修 22P96A 组 T2 改编)已知{an}满足 an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且 a1＝2，则 a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想 an＝________．答案：3 4 5 n＋1[易错纠偏](1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为 n＝1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3 C．5 D．6解析：选 C.当 n＝1 时，21＝2＝12＋1，当 n＝2 时，22＝4<22＋1＝5，当 n＝3 时，23＝8<32＋1＝10，当 n＝4 时，24＝16<42＋1＝17，当 n＝5 时，25＝32>52＋1＝26，当 n＝6 时，26＝64>62＋1＝37，故起始值 n0应取 5.2．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从 n＝k 到 n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当 n＝k 时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当 n＝k＋1 时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从 n＝k 到 n＝k＋1，左边需增添的代数式...
