第 4 讲 基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．(4)＋≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2．(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是．(简记：和定积最大)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)ab≤成立的条件是 ab>0.( )(3)“x>0 且 y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值是 2.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×[教材衍化]1．(必修 5P99 例 1(2)改编)设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________．解析：因为 x>0，y>0，所以≥，即 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.答案：812．(必修 5P100A 组 T2 改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的一边为 x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以 y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.答案：25[易错纠偏](1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1．“x>0”是“x＋≥2 成立”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选 C.当 x>0 时，x＋≥2 ＝2.因为 x，同号，所以若 x＋≥2，则 x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2 成立”的充要条件，故选 C.2．设 x>0，则函数 y＝x＋－的最小值为________．解析：y＝x＋－＝＋－2≥2 －2＝0，当且仅当 x＋＝，即 x＝时等号成立．所以函数的最小值为 0.答案：0 利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值．角度一 求不含等式条件的函数最值 (1)函数 f(x)＝(x>0)的最大值为________．(2)已知 x<，则 f(x)＝4...
