第 3 讲 二项式定理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(2)通项：第 k＋1 项为 Tk＋1＝C a n － k b k ．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n的展开式中的第 r 项是 Can－rbr.( )(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( )(4)通项 Tr＋1＝Can－rbr中的 a 和 b 不能互换．( )(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×[教材衍化]1．(选修 23P31 例 2(1)改编)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当 k＝2 时，x2的系数为 C·22＝40.答案：402．(选修 23P31 例 2(2)改编)若展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当 6－2k＝0，即当 k＝3 时为常数项，T4＝C＝20.答案：203．(选修 23P41B 组 T5 改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4的值为________．解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8.答案：8[易错纠偏](1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得 2n＝32，所以 n＝5.令 x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.答案：－12．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则 a8＝________．解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令 r＝8，得 a8＝4C＝180.答案：180 二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求 n 的值或参数的值．角度一 求展开式中的某一项 (2019·高考浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数...
