第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2．(2)基底：不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝．(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝．3．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ．[提醒] 当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，向量AB，BC的夹角为∠ABC.( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成＝.( )(5)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√[教材衍化]1．(必修 4P99 例 8 改编)若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点，则点 P 的坐标为( )A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)解析：选 D.由题意得P1P＝P1P2或P1P＝P1P2，P1P2＝(3，－3)．设 P(x，y)，则P1P＝(x－1，y－3)，当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以 x＝2，y＝2，即 P(2，2)；当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以 x＝3，y＝1，即 P(3，1)．故选 D.2．(必修 4P97 例 5 改编)已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D的坐标为________．解析：设 D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案：(1，5)13．(必修 4P119A 组 T9 改编)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则＝________．解析：由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由 ma＋nb 与 a－2b 共线，得＝，所以＝－.答案...
