突破点 10 立体几何中的向量方法(对应学生用书第 37 页)[核心知识提炼]提炼 1 两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角 θ ∈ .(2)设直线 l1，l2的方向向量为 s1，s2，则 cos θ＝|cos 〈 s 1， s 2〉 | ＝ .提炼 2 直线与平面的夹角 (1)直线与平面的夹角 θ ∈ .(2)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.提炼 3 两个平面的夹角 (1)如图 101①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．① ② ③图 101(2)如图 101②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝－ cos 〈 n 1， n 2〉或 cos 〈 n 1， n 2〉．[高考真题回访]回访 1 空间向量及其运算1．(2015·浙江高考)已知 e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量 b 满足 b·e1＝2 ， b·e2 ＝ ， 且 对 于 任 意 x ， y∈R ， |b － (xe1 ＋ ye2)|≥|b － (x0e1 ＋ y0e2)| ＝1(x0，y0∈R)，则 x0＝________，y0＝________，|b|＝________.1 2 2 [对于任意 x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当 x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值 1.|b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y 取得最小值，需要把 x2＋y2＋xy－4x－5y 看成关于 x 的二次函数，即 f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x＝2－，所以当 x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得 f(x)＝(y－2)2－7，显然当 y＝2 时，f(x)min＝－7，此时 x＝2－＝1，所以 x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2.]回访 2 立体几何中的向量方法2．(2016·浙江高考)如图 102，已知平面四边形 ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD′，直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是________．图 102 [如图，作 D′F⊥AC 于点 F，作 BE⊥AC 于点 E，作 FM 垂直于过点 B 平行于 AC 的直线，垂足为 M，则∠D′BM 是 AC 与 BD′所成的角(或其补角)．在△AD′C 中，D′C＝1，AD′＝，∠AD′C＝90°，∴AC＝，D′F＝，CF＝.在△BAC 中，BC＝BA＝3，BE＝＝.而 AE＝...
