高考专题突破四 高考中的立体几何问题题型一 平行、垂直关系的证明例 1 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是 A1C1，BC 的中点．(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面 ABE；(3)求三棱锥 E－ABC 的体积．(1)证明 在三棱柱 ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面 ABC.因为 AB⊂平面 ABC，所以 BB1⊥AB.又因为 AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以 AB⊥平面 B1BCC1.又 AB⊂平面 ABE，所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1.(2)证明 方法一 如图 1，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FG∥AC，且 FG＝AC.因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1，所以四边形 FGEC1为平行四边形，所以 C1F∥EG.又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE，所以 C1F∥平面 ABE.方法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HF∥AB，又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1∥AH，且 EC1＝AH，所以四边形 EAHC1为平行四边形，所以 C1H∥AE，又 C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面 ABE∥平面 C1HF，又 C1F⊂平面 C1HF，所以 C1F∥平面 ABE.(3)解 因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以 AB＝＝.所以三棱锥 E－ABC 的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.思维升华 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．跟踪训练 1 如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，点 E，F 分别是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.证明 (1)以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直...
