高考专题突破四 高考中的立体几何问题题型一 平行、垂直关系的证明例 1 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是 A1C1，BC 的中点．(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面 ABE；(3)求三棱锥 E－ABC 的体积．(1)证明 在三棱柱 ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面 ABC
因为 AB⊂平面 ABC，所以 BB1⊥AB
又因为 AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以 AB⊥平面 B1BCC1
又 AB⊂平面 ABE，所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1
(2)证明 方法一 如图 1，取 AB 中点 G，连接 EG，FG
因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FG∥AC，且 FG＝AC
因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1，所以四边形 FGEC1为平行四边形，所以 C1F∥EG
又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE，所以 C1F∥平面 ABE
方法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH
因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HF∥AB，又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1∥AH，且 EC1＝AH，所以四边形 EAHC1为平行四边形，所以 C1H∥AE，又 C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面 ABE∥平面 C1HF，又 C1F⊂平面 C1HF，所以 C1F∥平面 ABE
(3)解 因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以 AB＝＝
所以三棱锥 E－ABC 的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝
思维升华 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从
