高一数学 第2章《不等式中恒成立问题》素材 沪教版

专题研究之二（不等式中恒成立问题的解法研究）在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型 3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立用心 爱心 专心例 1：若不等式)1(122 xmx对满足22m的所有m 都成立，求 x 的范围。解 析 ： 我 们 可 以 用 改 变 主 元 的 办 法 ， 将 m 视 为 主 变 元 ， 即 将 元 不 等 式 化 为 ：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒 成 立 ， 所 以 只 需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx， 所 以 x 的 范 围 是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 2>0 恒成立，满足题意；（2）01 m时，只需...