裂项法（一） 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如 ，这里分母 3、4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 即 或 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】 例 1. 计算： 分析与解答： 上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算： 公式的变式 当 分别取 1，2，3，……，100 时，就有 例 3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即 另外一种方法 设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式 。 这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即 。 又因为 是自然数，所以 一定能整除，即 是的约数，有个 就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，， 是的约数时，一定有，即 上面指出当，， 是的约数时，一定有，这里，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故（ ）和< >所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】 二.尝试体验： 1. 计算： 2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。 【试题答案】 1. 计算： 2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。 的值为：75，81，96，121，147 ，200 ，361。 因为 18 的约数有 1，2，3，6，9，18，共 6 个，所以有 （二） 前一节我们已经讲过，利用等式 ，采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。 【典型例题】 例 1. 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 下面我们用 ，现在给 、 一些具体的值，看看有什么结果。 当 ...
