高三数学 三角函数的最值（2）精华学案

三角函数的最值一、课前检测1.（东城一模理 12）关于函数,给出下列三个命题:(1) 函数在区间上是减函数;(2) 直线是函数的图象的一条对称轴;(3) 函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到.其中正确的命题序号是 .(将你认为正确的命题序号都填上) 答案：(1) (2)。2.（宣武一模理 12）设函数的图像关于点成中心对称，若，则 。答案：。3.（朝阳一模理 15 本小题满分 13 分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期，并写出函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）若，求函数的值域．解:（Ⅰ）因为， 所以, 函数的最小正周期为 2． 由，得 .故函数图象的对称轴方程为. ……8 分（Ⅱ）因为，所以． 所以.所以函数的值域为． ……13 分二、知识梳理1、求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.2、三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性.三、典型例题分析例 1 求函数 y＝最值。解：y＝＝∴ 当 cosx＝时，ymin=∵ cosx≠1∴ 函数 y 没有最大值。变式训练 1 求 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最值。解：令 t=sinx+cosx,则有 t2=1+2sinxcosx,即 sinxcosx=.有 y=f(t)=t+=.又 t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤.故 y=f(t)= (-≤t≤),从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.即函数的值域为.例 2 求函数的最值，并求取得最值时的值.答案：当时，，当时，变式训练 2 的最大值是＿＿＿＿＿。答案：变式训练 3 函数的最小值是＿＿＿＿＿＿。答案：变式训练 4 若函数的最大值为 2，试确定常数 a的值.例 3 求的最大值和最小值.答案：，变式训练 5 求的最大值和最小值.解：由得 sinx－ycosx＝3y－1∴＝3y－1 (tan＝－y)∵|sin(x＋)|≤1 ∴|3y－1|≤解得 0≤y≤ 故的值域为[0，]注：此题也可用其几何意义在求值域．四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.y=asinx+bcosx 型函数最值的求法.常转化为 y=sin（x+），其中 tan=.2.y=asin2x+bsinx+c 型.常通过换元法转化为 y=at2+bt+c 型.3.y=型.（1）转化为型 1.（2）转化为直线的斜率求解.4.利用单调性.5.基本不等式法