高三数学一轮复习学案 §2.6.函数的奇偶性和周期性

一轮复习学案 §2.6. 函数的奇偶性与周期性 ☆学习目标：1．理解函数奇偶性的概念和图象特征，掌握判断函数奇偶性的方法； 2．了解函数周期性、最小正周期的意义，理解周期函数的简单性质．☻基础热身：１.已知在 R 上是奇函数，且 ( ) A. B.2 C. D.982.若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 x1,x2R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, 则下列说法一定正确的是 ( )(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1 为奇函数（D）f(x)+1 为偶函数3.(06 全国) 已知函数，若 f（x）为奇函数，则 = ☻知识梳理：1. 函数的奇偶性① 定义:若对于函数定义域内的每一个,都有 ,则函数叫做奇函数; 都有 ,则函数叫做偶函数. 图象特征:奇函数图象关于 对称;偶函数图象关于 对称.② 判定方法:首先看定义域 ,再考查 和 的关系,对能化简的解析式应先 再判断. ③ 常用结论: 10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 条件. 20.若奇函数的定义域包含 0,则 . 30. 奇函数在对称的单调区间内有 的单调性，偶函数在对称的单调区间内具 的单调性. ４ 0为偶函数．2.函数的周期性① 定义:对于函数,若存在一个 常数 T,使当取定义域内的 值时,都有 则函数叫做周期函数,其中 叫做的周期.若所有的周期中存在一个常数 T>0,那么这个 T 叫做的 .② 常用结论: 10.若是的周期,则也是其 .20. 若定义域内任意实数（为常数）,恒有下列条件之一成立: ； ；；；； 则是周期函数， 是它的一个周期．☆ 案例分析：例 1. 判断下列各函数的奇偶性：（1） （3）．例 2. 已知是定义在实数集上的函数，满足，且时， ，（1）求时，的表达式；（2）证明是上的奇函数．例 3.定义在 R 上的函数满足：则( ) （A）13 （B） 2 （C） （D） 例 4. 设函数在上满足，， 且在闭区间上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论参考答案：基础热身：1. A 解：由题设2. C 解：令，得，，所以,即，所以 为奇函数,选 C3. 解： 函数若为奇函数，则，即，a=.例 1.解（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数． （2）由得定义域为， ∴， ∵ ∴为偶函数（3）当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例 2.略例 3.【解】：∵且 ∴，， ，，，， ∴ ， ∴ 故选 C例 4．略.