高三数学一轮复习学案 §2.16.函数模型及应用（2）

一轮复习学案 §2.15.函数模型及应用（2） ☆学习目标：进一步提高函数的常见模型求解能力．☆ 案例分析：例 1. (08 江苏)某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：① 设∠BAO=θ(rad)，将 y 表示成 θ 的函数关系式；② 设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。例 2 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）BCDAOP例 3.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广 告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？例 4. 现有某种细胞 100 个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？ （参考数据：）.参考答案:例 1. 【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力 、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO=θ(rad)，则，故 又，所以所求函数关系式为② 若 OP=x(km)，则 OQ=10-x，所以所求函数关系式为（2）选择函数模型①，令得 当时，y 是 θ 的减函数；当时，y 是 θ 的增函数； 所以当时， 此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边km 处。例 2. 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则 , 令 得 当 时， ；当 时， 因此 当时，f（x）取最小值； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识...