大一高数知识点与例题讲解

大一高数函数与极限第一节函数○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)○邻域(去心邻域)(★) 第二节数列得极限○数列极限得证明(★)【题型示例】已知数列,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴第三节函数得极限○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大得本质(★)函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大得相关定理与推论(★★)(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则(定理四)在自变量得某个变化过程中,若 为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:(或)1. ≤∴函数在得任一去心邻域内就是有界得;( ≤,∴函数在上有界;)2.即函数就是时得无穷小;(即函数就是时得无穷小;)3.由定理可知()第五节极限运算法则○极限得四则运算法则(★★)(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式、商式得极限运算设:则有 (特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式其中为函数得可去间断点倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解:○连续函数穿越定理(复合函数得极限求解)(★★)(定理五)若函数就是定义域上得连续函数,那么,【题型示例】求值:【求解示例】第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则(P53)(★★★)第一个重要极限: ,∴(特别地,)○单调有界收敛准则(P57)(★★★)第二个重要极限:(一般地,,其中)【题型示例】求值:【求解示例】 第七节无穷小量得阶(无穷小得比较)○等价无穷小(★★)1.2.(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值:【求解示例】第八节函数得连续性○函数连续得定义(★)○间断点得分类(P67)(★)(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数 ,应该怎样选择数,使得成为在上得连续函数？【求解示例】1. 2.由连续函数定义∴第九节闭区间上连续函数得性质○零点定理(★)【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间【证明示例】1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;2. (端点异号)3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()4.这等式说明方程在开区间内至少有一个根第一章导数与微分第一节导数概念○高等...