曲面积分与高斯公式1、第一类曲面积分(１）问题得提出设有一块光滑得金属曲面Ｓ 。它得密度就是不均匀得。在其点(ｘ,y，z)处密度为 f(x,y,z),并设ｆ在Ｓ上连续,则金属曲面 S 得质量 M说明: 第一类曲面积分与曲面得方向(侧）无关(2）第一类曲面积分得计算（代入法）设 S 就是一个光滑曲面, S 得方程就是 Z=f(x,y) ,当 ｆ 1 时可得空间曲面面积得计算公式,即例 1.I=，S 就是半球面（)。解:, , ＝２、 第二类曲面积分(1）问题得提出磁通量问题。表示说明:第二类曲面积分与方向(侧）有关,改变方向,积分变号(２)计算（代入法) 用带入法计算时，一般应分成三个计算： ①(假如曲面积分取得上侧取号,假如曲面积分取得下侧取-号)、类似有②(假如曲面积分取得前侧取号,假如曲面积分取得后侧取-号)。③(假如曲面积分取得右侧取号,假如曲面积分取得左侧取-号)、例２：计算曲面积分,其中就是圆面下侧。分析： 由于在上， ,所以评论：本题展示得化简积分得方法就是非常重要得。例 3:计算曲面积分,其中就是旋转抛物面介于平面及之间得下侧分析: 可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算、解:(略)(3)高斯公式设 Ｄ 就是Ｒ内得一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成,方向就是外侧(相对于区域Ｄ而言）。又设函数 P，Ｑ，Ｒ都在 D 内关于 x,ｙ,z 有连续偏导数,则下列高斯公式成立： 由 Gau ｓ s 公式可计算某些空间立体积分 V= 例４ 计算, 式中Ｓ为球面得内侧解 由高斯公式 知 =例 5：计算曲面积分 其中为曲面得上侧。【分析】(补面法)本题曲面不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成得区域内用高斯公式,而在添加得平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲面：，取下侧、 则 ＝其中为与所为成得空间区域，D 为平面区域、 由于区域Ｄ关于 x 轴对称，因此、 又=其中、【评注】 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算,但计算过程比较复杂。(２）本题中得三重积分计算用“先二后一”法,若用“先一后二”法计算量就是大得例６:计算外侧。 分析：该题，它们在 S 所包围得区域内不连续(在原点没定义,偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。详解：由积分表达式及 S 得对称性知所以记上半球（上侧)为 S 上,记下半球(下侧)为 S 下 所以
