高中数学 1.2.1任意角的三角函数（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材

1. 2.1 任意角的三角函数(结)重点：任意角三角函数的定义.难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数，即对三角函数线的理解.一、用三角函数的定义求三角函数值正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标或纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.例 1 已知角 α 的终边经过点 P（-4a,3a）（a≠0），求 sinα、cosα、tanα 的值.【分析】先求出点 P 到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求 sinα、cosα、tanα 的值.【解】 r＝＝5|a|.若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.【点评】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 和点 P 到原点的距离 r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.二、角所在的象限与三角函数值的符号三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的.原点到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值，根据三角函数的定义得知：正弦值的符号决定于纵坐标 y 的符号；余弦值的符号决定于横坐标 x 的符号；正切值则是纵坐标 y、横坐标 x 的比值，同号为正，异号为负.例 2 有下列各式：① sin1125°；② tanπ·sinπ；③；④ sin|－1|.其中为负值的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【分析】确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限；确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号.【解析】 对于①，因为 1125°＝1080°＋45°，所以 1125°是第一象限角，所以 sin1125°>0；对于②，因 π＝2π＋π，则 π 是第三象限角，所以 tanπ>0；sinπ<0，故 tanπ·sinπ<0；对于③，因 4 弧度的角在第三象限，则 sin4<0，tan4>0，故<0；对于④，因<1<，则 sin|－1|>0.综上，②③为负数．【答案】B【点评】对于较“大”的角先利用终边相同的角的写法转化为较“小”的角即（0，2π）内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.三、诱导公式一的应用由三角函数的定义可知，三角函数值的大小是由角的终边位置确定的.终边相同的角的同一三角 函 数 值 相 等 ， 而 与 ...