高中数学 1.2 圆的进一步认识 1.2.1 圆周角定理知识导航学案 苏教版选修4-1-苏教版高二选修4-1数学学案

1.2.1 圆周角定理自主整理1.顶点在圆周上且两边都与圆相 S 交的角称为____________.2.n°的圆心角所对的弧是____________.3.圆周角的度数等于其所对的弧度数的____________.4.同弧（或等弧）上的圆周角，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________.5.半圆（或直径）上的圆周角等于____________,反之，90°的圆周角所对的弦为____________.高手笔记1.圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是此定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的，当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系，然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行证明，后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外，通过这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下问题往往容易解决，如图 1.2-1 中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时∠AOB=2∠C 很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图 1.2-1 左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图 1.2-12.圆周角定理的两个推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.如图 1.2-2（1）中∠ABE=∠ACE=∠ADE，图 1.2-2(2)中∠A=∠B=∠C.图 1.2-21推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图 1.2-3，∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°，AB 是直径.图 1.2-3名师解惑1.在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系，在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？剖析:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比...