1.2.4 圆内接四边形自主整理1.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补.2.圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.3.若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆.特别的，对定线段张角为直角的点共圆.高手笔记1.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理 1 是圆的内接四边形对角互补；定理 2 是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.2.圆内接四边形的判定定理（1）定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.（2）符号语言表述：在四边形 ABCD 中，如果∠B+∠D=180°，那么四边形 ABCD 内接于圆.（3）证明思路：要证明四边形 ABCD 内接于圆，就是要证明 A、B、C、D 四点在同一个圆上.根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过 A、B、C、D中的任意三个点，譬如 A、B、C 三点作一个圆，再证明第四个点 D 也在这个圆上就可以了.但是直接证明点 D 在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点 D 不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点 D 不在圆上是错误的，因此点 D 只能在圆上.由于点 D 不在圆上时，可能出现点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点 D 在圆内的情况.假设点 D 在圆内，若作出对角线 BD，设 BD 和圆交于 D′，连结AD′、CD′，则 ABCD′为圆内接四边形（如图 1.2-103），则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面，因 为 ∠ ADB 、 ∠ BDC 分 别 是 △ AD′D 和 △ CD′D 的 外 角 ， 所 以 有 ∠ AD′B<∠ADB,∠BD′C<∠BDC, 于 是 有 ∠ AD′C<∠ADC. 因 为 已 知 ∠ ABC+∠ADC=180°, 所 以 ∠ ABC+∠AD′C<180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点 D 不能在圆内.用类似的方法也可以证明点 D 也不能在圆外....
