第六章 二次型 1.设方阵与合同,与合同,证明与合同、 证:因为与合同,所以存在可逆矩,使, 因为与合同,所以存在可逆矩,使、 令 ,则可逆,于就是有 即 与合同、 2.设对称,与合同,则对称证:由对称,故、因与合同,所以存在可逆矩阵,使,于就是即为对称矩阵、 3.设 A 就是 n 阶正定矩阵,B 为 n 阶实对称矩阵,证明:存在 n 阶可逆矩阵 P,使均为对角阵、 证:因为 A 就是正定矩阵,所以存在可逆矩阵 M,使记,则显然就是实对称矩阵,于就是存在正交矩阵 Q,使 令 P=MQ,则有同时合同对角阵、 4.设二次型,令,则二次型得秩等于、 证:方法一 将二次型 f 写成如下形式: 设 A= 则 于就是 故 = == =X(AA)X 因为为对称矩阵,所以就就是所求得二次型 f 得表示矩阵. 显然()=(A),故二次型 f 得秩为(A) .方法二 设、 记,于就是,其中,则、 因为为对称矩阵,所以就就是所求得二次型 f 得表示矩阵. 显然()=(A),故二次型 f 得秩为(A) . 5.设为实对称可逆阵,为实二次型,则为正交阵可用正交变换将化成法律规范形、 证:设就是得任意得特征值,因为就是实对称可逆矩阵,所以就是实数,且、 因为就是实对称矩阵,故存在正交矩阵,在正交变换下,化为标准形,即 (*) 因为就是正交矩阵,显然也就是正交矩阵,由为对角实矩阵,故即知只能就是或,这表明(*)恰为法律规范形、 因为为实对称可逆矩阵,故二次型得秩为、 设在正交变换下二次型化成法律规范形,于就是其中为得正惯性指数,、 显然就是正交矩阵,由,故,且有,故就是正交矩阵、 6.设为实对称阵,,则存在非零列向量,使、 证:方法一 因为为实对称阵,所以可逆矩阵,使其中就是得特征值,由,故至少存在一个特征值,使,取,则有 方法二(反证法) 若,都有,由为实对称阵,则为半正定矩阵,故与矛盾、 7.设 n 元实二次型,证明 f 在条件下得最大值恰为方阵 A 得最大特征值. 解:设得特征值,则存在正交变换,使设就是中最大者,当时,有因此这说明在=1 得条件下 f 得最大值不超过. 设 则 令,则并且这说明 f 在达到,即 f 在条件下得最大值恰为方阵 A 得最大特征值. 8.设正定,可逆,则正定、 证:因为正定,所以存在可逆矩阵,使,于就是 ,显然为可逆矩阵,且,即就是实对称阵,故正定、 9.设 A 为实对称矩阵,则 A 可逆得充分必要条件为存在实矩阵 B,使 AB+正定. 证:先证必要性取,因为 A 为实对称矩阵,则当然就是正定矩阵.再证充分性,用反证法.若 A 不就是可逆阵,则 r(A)
