1．6 微积分基本定理1．通过实例，了解微积分基本定理的含义．2．理解并记住牛顿——莱布尼兹公式，即微积分基本定理．3．会逆用求导公式求原函数 F(x)，再求定积分．1．微积分基本定理：如果函数 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) ．定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号 F(x)|来表示 F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作f(x)dx＝F(x)|＝F ( b ) － F ( a ) ．想一想：被积函数 f(x)的原函数 F(x)唯一吗？解析：不唯一．因为当 F′(x)＝f(x)时，[F(x)＋C]′＝f(x)(C 为常数)，所以 F(x)＋C也是 f(x)的一个原函数．实际上，f(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系．设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则：(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 1，则f(x)dx＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2，则f(x)dx＝S 下．1(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图 3，则f(x)dx＝S 上－ S 下，若 S 上＝S 下，则f(x)dx＝0．想一想： (1＋cos x)dx＝________．解析：因为(x＋sin x)′＝1＋cos x，所以 (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝π＋2.答案：π＋2234567
