高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

【金版学案】2015-2016 学年高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教 A 版选修 2-31．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C ＋ C ．2．二项式系数的性质3．赋值法的应用．设 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2 ＋a3x3＋…＋anxn.(1)a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝f (1) ．(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f ( － 1) ．(3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝．(4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝．1(5)a0＝f (0) ．☞想一想：设(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则 a0＋a1＋a2＋…＋a8的值为 1． 1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为(C)A．199 B．2100－1C．2101－1 D．21002．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n＝(C)A．8 B．9 C．10 D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第 6 项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以 n＝10. 故选 C.3．(2013·北海市第二次质检)设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则 a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(B)A．0 B．1 C．6 D．15解析：令 x＝－1，则 1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B.【典例】 设 n∈N*，则 C＋C6＋C62＋…＋C6n－1＝________．解析：原式＝(C6＋C62＋C63＋…＋C6n )＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)．【易错剖析】由于对二项式定理理解不透，误认为 C＋C6＋C62＋…＋C6n－1＝(1＋6)n－1＝7n－1，导致结果错误．1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(C)A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋32．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若 a0＋a1＋…＋an＝30，则 n 等于(C)A．5 B．3 C．4 D．7解析：令 x＝1 得 a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30 得 n＝4.3．关于(a－b)10的说法，错误的是(C)A．展开式中的二项式系数之和是 1 024B．展开式的第 6 项的二项式系数最大C．展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大2D．展开式中第 6 项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝ 210＝1 024.∴A 正确．又二项式系数最大的项为 C，是展开式的第 6 项．∴B 正确．又由通项 Tr＋1 ＝Ca10－r(－b)r＝(...