高中数学 1.3.4函数与导数综合问题学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1．3.4 函数与导数综合问题1．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)，相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数的单调性：一般地，设函数 y＝f(x)在某个区间可导，如果 f′(x)＞0，则 y＝f(x)为增函数；如果 f′(x)＜0，则 y＝f(x)为减函数；如果在某区间内恒有 f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．3．导数与函数的极值点及极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．4．导数与函数的最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数 y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 1．曲线 y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为 4 x － y － 3 ＝ 0 ．2．函数 y＝1＋3x－x3有(D)A．极小值－1，极大值 1B．极小值 1，极大值 3 C．极小值－2，极大值 2D．极小值－1，极大值 33．设 a＜b，函数 y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(C)1解析：y′＝(x－a)(3x－a－2b)，由 y′＝0，得 x＝a 或 x＝，∴当 x＝a 时，y 取极大值0；当 x＝时，y 取极小值且极小值为负．当 x＜b 时，y＜0；当 x＞b 时，y＞0，选 C.1．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是(C)A．－9 B．－3 C．9 D．15解析： y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为 y－12＝3(x－1)，即 y＝3x＋9，令 x＝0，得 y＝9.故选 C.2．方程 2x3－6x2＋7＝0 在区间(0，2)内根的个数为(B)A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个解析：设 f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x，当 x∈(0，2)时，f′(x)<0，∴函数 f(x)在(0，2)内单调递减．又 f(0)＝7，f(2)＝－1，∴方程在(0，2)内只有 1 个根．3．若 f′(x)＝4x3＋2，则 f(x)可能是(C)A．f(x)＝4x4＋2 B．f(x)＝x4＋2C．f(x)＝x4＋2x＋1 D．f(x)＝4x4＋2x4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈时，函数的最大值、最小值分别是________．解析：f′(x)＝cos x－sin x，x∈，令 f′(x)＝0，得 x＝，又 f＝，f＝－1，f＝1，即最大值为，最小值为－1.2答案：，－15．...