第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第二课时)学习目标① 理解分数指数幂的概念;② 掌握分数指数幂和根式之间的互化;③ 掌握分数指数幂的运算性质;④ 培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?问题 2:考古学家根据上式可以知道,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,它体内碳 14 的含量 P 分别为(,(,(.那么这些数(,(,(的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?二、自主探索,尝试解决问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a>0)①=a2=;②=a4=;③=a3=;④=a5=.问题 4:利用问题 3 中的规律,你能表示下列式子吗?(x>0,m,n∈N*,且 n>1).问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗?问题 6:你能把问题 3,4 中得到的结论推广到一般的情形吗?规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且 n>1).三、信息交流,揭示规律问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗?规定:正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且 n>1).问题 9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义呢?问题 10:综合上述问题 7,8,9,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且 n>1),正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且 n>1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.问题 11:分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果?问题 12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,(1)aras= (a>0,r,s∈R); (2)(ar)s= (a>0,r,s∈R); (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R). 问题 13:若 a>0,α 是一个无理数,则 aα该如何理解?实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即:aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).四、运用规律,解决问题【例 1】(课本 P51,例 2)求值:①;②2;③()-5;④(.【例 2】用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·;a2·(a>0).【例 3】...
