2.1.3 不等式的的证明(3)☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例 1 已知 + b + c > 0，b + bc + c > 0，bc > 0，求证：, b, c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：10．已知，可设 ， ；20．已知，可设 ， ()；30．已知，可设 ， . 例 2 设实数满足，当时，的取值范围是（ ） 例 3 已知，求证：3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，， ② 将分子或分母放大（或缩小） 如： ③ 应用 “糖水不等式”：“若，，则” ④ 利用基本不等式，如：； ⑤ 利用函数的单调性 ⑥ 利用函数的有界性：如：≤； ⑦ 绝对值不等式：≤≤； ⑧ 利用常用结论：如：， ⑨ 应用贝努利不等式： 例 4 当 n > 2 时，求证：例 5 求证：例 6 若 a, b, c, dR+，求证：选修 4-5 练习 §2.1.3 不等式的证明(3) 姓名 1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.2、设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于3、已知，求证：（且）.4、若 x, y > 0，且 x + y >2，则和中至少有一个小于 2。 5、已知 ...
