剖析演绎推理的几种错误证明 1．偷换论题 例 1 求证：四边形的内角和等于 360°． 证 明 ： 设 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 则 它 的 四 个 角 都 是 直 角 ， 有90909090360ABCD ， 所以，四边形的内角和等于360 ． 剖析：上述推理过程是错误的，犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．2．虚假论据 例 2 已知2 和 3 是无理数，试证：23也是无理数． 证明：依题设2 和 3 是无理数， 而无理数与无理数的和是无理数， 所以23也是无理数． 剖析：上述推理过程是错误的，犯了虚假论据的错误．使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．因此，原题的真假性仍无法断定． 3．循环论证 例 3 在RtABC△中，90C ，求证：222abc． 证明：因为sinacA，cosbcA， ∴2222222222sincos(sincos)abcAcAcAAc． 剖析：上述推理过程是错误的，犯了循环论证的错误．本题的论据就是人们熟知的勾股定理．上述证明中用了“22sincos1AA ”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误． 4．推理错误 例 4 设π0 2， ，，，且1tan2 ，1tan5 ，1tan8 ，求证：π4． 证明：因为tantantantantantantan()1tantantantantantan 11111125825811111111252858 ，用心 爱心 专心1π4． 剖析：上述推理过程是错误的，犯了不能推出的错误．因为 tan()1 只能推出ππ()4nnN．至于关系式π4是否惟一地成立，却无法断定．因此，只有进一步推出0， ，π4，即3π04，原题才能得证． 用心 爱心 专心2
