高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材

2. 2.2 向量的减法运算及其几何意义（结）命题方向 1 利用已知向量求作和向量或差向量 如图，已知向量 a、b、c 不共线，求作向量 a＋b－c.[分析] 利用向量加法和减法的三角形法则作图即可．[解析] 解法一：如图①，在平面内任取一点 O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.解法二：如图②，在平面内任取一点 O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.规律总结：(1)求作两个向量的和向量时，要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用．(2)求作两个向量的差向量时，有以下两种思路：① 可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然后作 a＋(－b)即可．② 也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．命题方向 2 利用已知向量表示其他向量 如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中心，若OA＝a，OE＝b，用向量 a、b 表示向量OB、OC和OD.[分析] →→[解析] 解法一：在▱OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，OE 起点相同，应用平行四边形法则，得OF＝OA＋OE＝a＋b.∵OC＝－OF，∴OC＝－a－b.而OB＝－OE＝－b，OD＝－OA＝－a，∴OB＝－b，OC＝－a－b，OD＝－a.解法二：由正六边形的几何性质，得OD＝－a，OB＝－b，BC＝－OA＝－a.在△OBC 中，OC＝OB＋BC＝－a－b。解法三：由正六边形的几何性质，得OB＝－b，OD＝－a.在▱OBCD 中，OC＝OB＋OD＝－a－b.规律总结：解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．命题方向 3 向量的加、减运算及模的综合应用 已知向量 a、b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．[分析] 明确 a－b 与 a＋b 的几何意义，通过解直角三角形求得结果．[解析] 在平面内任取一点 A，作AD＝a，AB＝b，则AC＝a＋b，BD＝a－b.由题意，知|AB |＝|BD|＝2，|AD|＝1.如图所示，过 B 作 BE⊥AD 于 E，过 C 作 CF⊥AB 交直线 AB 于 F.∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.在△ABE 中，cos∠EAB＝＝.在△CBF 中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝.∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝.∴CF＝.∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.在 Rt△AFC 中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.规律总结：(1)理解向量的几何意义，且能准确运用向量的加、减运算．(2)恰当构造相关图形，且能灵活运用的几何性质求解未知量．