高中数学 3.1.1两角差的余弦公式（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材

3.1.1 两角差的余弦公式（结）重点：两角差的余弦公式的推导过程及应用.难点：公式的推导过程及应用技巧.1.对于两角差的余弦公式的理解（1）两角差的余弦公式是推导其他和（差）角公式的根源，诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况.两角中若有 的整数倍角，使用诱导公式会简化运算，不需要再用两角和与差的三角函数公式展开来计算.(2)两角差的余弦公式不能按照分配律展开，即 cos（α-β）≠cosα-cosβ(它不一定成立).（3）注意公式的逆用及变形应用，如：cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β);(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α-β)等.2.角的拆分方法一般来说角的拆分方法不唯一，常见的拆分方法有以下几种：α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；β＝[(α＋β)－(α－β)]；α＝[(β＋α)－(β－α)]；＝(＋α)＋(－α)等.如要计算 cos15°，则可把cos15°等价变换成以下形式：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos(60°－45°).一、用公式求非特殊角的函数值某些非特殊角，可转化为特殊角，结合公式求值.例 1 求 cos105°+sin195°的值.【 分 析 】 用 第 一 章 的 诱 导 公 式 转 化 成 同 名 三 角 函 数 的 运 算 ， 即sin195°=sin(90°+105°)=cos105°，然后把 105°角拆分成两个特殊角，即 105°=135°-30°，最后利用公式化简、求值.【解】cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2(－cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝2(－×＋×)＝.【点评】在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角（如 30°，45°，60°，90°，120°，150°，…）之间和与差的关系问题，然后利用公式化简、求值.二、逆用公式化简代数式逆用公式就是利用公式的展开特征，把多项式的形式转化为三角函数的形式.例 2 求 sin193°·sin223°+sin283°·sin313°的值.【思路点拨】对于角度比较大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将角度化小（一般是化成锐角），再根据式子的结构选择三角函数公式化简.【解】原式=sin(180°+13°)·sin(180°+43°) +sin(360°-77°)·sin(360°-47°)=sin13°·sin43°+sin77°·sin47°=sin13°·sin43°+cos13°·cos43°=cos(43°-13°)=cos30°= .【思维总结】在逆用公式时一定要符合公式的结构特征.三、给值求值已知某些角的函...