2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵，记为 A－1.2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则 AB 也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵，则 B＝C.3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵 A＝，若 ad－bc≠0，则 A 必可逆，且 A－1＝.(2)待定系数法．(3)逆变换法．逆矩阵的求法[例 1] 求矩阵 A＝的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设 A－1＝，则 ＝.即＝，故解得 x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，从而 A 的逆矩阵为 A－1＝.法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A－1＝.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵 A 的逆矩阵 A－1，再由 AA－1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出 A－1.1．(江苏高考)已知矩阵 A＝，B＝，求矩阵 A－1B.解：设矩阵 A 的逆矩阵为，则 ＝，即＝故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而 A 的逆矩阵为 A－1＝，所以 A－1B＝ ＝.2．已知矩阵 M＝所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．解：由 M＝，得 2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故 M －1＝.从而由 ＝得＝ ＝＝，故即 A(2，－3)为所求．[例 2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝；(2)B＝.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析] (1)矩阵 A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿 x 轴方向拉伸为原来 2 倍的伸缩变换，因此它存在逆变换 TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿 x 轴方向压缩为原来的，所对应的变换矩阵为 A－1＝.(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换 TB－1：将平面内的点绕原点逆时针旋转 90°，所对应的变换矩阵为 B－1＝.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵 A＝，求 A...
