高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学教学案

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为 det(A)＝＝ad － bc .2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝，称为系数矩阵，Z＝，B＝，当 A 可逆时，方程组有唯一解，当 A 不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组，令 D＝，Dx＝，Dy＝，当 D≠0 时，方程组有唯一组解，为 x＝，y＝.4．对于方程组，令 D＝，当 D＝0 时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵 A＝可逆的充要条件是 det(A)≠0 且 A－1＝.求行列式的值[例 1] 求的最大值(其中 λ∈R)．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5)＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴的最大值为 3.(1)矩阵 A＝与它的行列式 det(A)＝的意义是不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)；(2)解：(1)＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)＝cos2 θ－(－sin2 θ)＝1.2．若＝，求 x＋y 的值．解：x2＋y2＝－2xy⇒x＋y＝0.利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵[例 2] 已知 A＝，B＝，判断 AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析] AB＝ ＝.因 det(AB)＝＝－1＋9＝8≠0，故 AB 可逆，∴(AB)－1＝.已知矩阵 A＝，利用行列式求矩阵 A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算 det(A)＝＝ad－bc，当 det(A)≠0 时，逆矩阵存在．(2)利用 A－1＝，求出逆矩阵 A－1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)；(2)；(3).解：(1)二阶行列式＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(2)二阶行列式＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为.(3)二阶行列式＝a，当 a＝0 时，矩阵不可逆，当 a≠0 时，矩阵可逆，逆矩阵为.4．若矩阵 A＝存在逆矩阵，求 x 的取值范围．解：据题意 det(A)≠0，即≠0.∴3x2－54≠0.∴x≠±3.故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠±3}.二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法 [例 3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用 x＝，y＝求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D＝＝12－2＝10，Dx＝＝4＋6＝10，Dy＝...