第三章 §3.2 简单的三角恒等变换 【学习目标】1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【学习重点】三角函数式的化简、求值和证明【基础知识】复习：Cos(α+β)= Cos(α-β)=sin(α+β)= sin(α-β)=tan(α+β)= tan(α-β)=sin2α= tan2α=cos2α=【例题讲解】例1、试以表示．点评：⑴以上结果还可以表示为： 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.⑵ 降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例 2 求证：（１）；（２）．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数的周期，最大值和最小值． 例 4：已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 60 度的扇形，C 是扇形弧上的一动点，ABCD 是扇形的内接矩形，且 AB 在半径 OP 上，记,求当为何值时，矩形 ABCD 的面积最大，并求出这个最大值？【达标检测】1．已知 cos（α+β）cos（α－β）=，则 cos2α－sin2β 的值为（ ）A．－ B．－C． D．2．在△ABC 中，若 sinAsinB=cos2，则△ABC 是（ ）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且 α∈（0，π），β∈（0，π），则 α－β 等于（ ）A．－B．－ C． D．4．已知 sin（α+β）sin（β－α）=m，则 cos2α－cos2β 等于（ ）A．－mB．mC．－4mD．4m二、填空题5．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．6．已知 α－β=，且 cosα+cosβ=，则 cos（α+β）等于_________．三、解答题7．已知 f（x）=－+，x∈（0，π）．（1）将 f（x）表示成 cosx的多项式；（2）求 f（x）的最小值．8．已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A+C=2B，，求 cos的值．9．已知 sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2A+1）2=a2+b2．10．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α．【问题与收获】 参考答案例1 解析：我们可以通过二...
