第三章 三角恒等变换3．2 简单的三角恒等变换1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．一、利用二倍角公式推导半角公式(1)因为 α 是的二倍角，所以在二倍角公式 cos 2α＝1－2sin2α 中，以 α 代替2α，以代替 α，即 cos α＝1－2sin2，所以 sin2＝．(2)在二倍角公式 cos 2α＝2cos2α－1 中，以 α 代替 2α，以代替 α，即 cos α＝2cos2－1，所以 cos2＝．(3)由(1)(2)中所得两式相除得 tan2＝.综上，sin＝±_，cos＝±_，tan＝±_．上面的三个式子称为半角公式．同样有 tan＝＝． 1．下列各式中恒成立的是(B)A．tan＝ B．cos2＝C．tan＝ ± D．tan 2α＝解析：A.tan＝不恒成立．恒成立的条件是 sin α≠0，C．tan＝±不恒成立．恒成立的条件是 cos α≠－1，D．tan 2α＝不恒成立．恒成立的条件是 tan α≠±1，B 恒成立，故选 B.二、和差化积与积化和差公式的推导由 sin＝sin αcos β＋cos αsin β，sin＝sin αcos β－cos αsin β 得sin αcos β＝，①cos αsin β＝．②由 cos＝cos αcos β－sin αsin β，cos＝cos αcos β＋sin αsin β 得cos αcos β＝，③sin αsin β＝－．④上面的公式①②③④统称为积化和差公式．上面四个式子中，设 α＋β＝θ，α－β＝φ，则有 α＝，β＝，把 α，β 代入上面的式子得到：sin θ＋sin φ＝2 sincos ，⑤sin θ－sin φ＝2 cossin ，⑥cos θ＋cos φ＝2 coscos ，⑦cos θ－cos φ＝－ 2 sinsin ．⑧上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．2．形如 y＝asin x＋bcos x 的函数如何进行变换？解析：y＝asin x＋bcos x＝， －1≤≤1，－1≤≤1，且＋＝1，∴不妨设 cos θ＝，sin θ＝，则有 y＝asin x＋bcos x＝＝sin(θ＋x)．1．已知 sin α＝，则 sin4α－cos4α 的值为(B)A．－ B．－ C. D.解析：原式＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故选 B.2．函数 f(x)＝2cos2x＋sin 2x 的最小值是 1 － ．解析：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1，∴所求最小值为 1－.3．若＝－，则 cos α＋sin α 的值为(C)A．－ B．－ C. D.解析：原式＝＝－(cos α＋sin α)＝－，∴cos α＋sin α＝.故选 C.4．若 α∈(π，2π)，则 等于(D)A．sin B．cosC．－sin D．－cos解析： α∈(π，2π)，∴...
