高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系．2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．一、向量的数量积的概念1．已知非零向量 a 与 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝ θ 叫做 a 与 b 的夹角．练习：(1)当 θ＝0 时，a 与 b 同向；(2)当 θ＝π 时，a 与 b 反向；(3)当 θ＝时，a 与 b 垂直，记 a⊥b．2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 cos_θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记作a · b ，即 a·b＝cos_θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，cos_θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当 θ 为锐角时投影为正值；当 θ 为钝角时投影为负值；当 θ 为直角时投影为 0；当 θ＝0 时投影为；当 θ＝π 时投影为－.4．零向量与任意向量的数量积为 0．1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.角的范围0°≤α<90°α＝90°90°<α≤180°a·b 的符号 解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.角的范围0°≤α<90°α＝90°90°<α≤180°a·b 的符号正 零负 二、平面向量数量积的性质1．设 a 与 b 均为非空向量：(1)a⊥b⇔a · b ＝ 0 ．(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝，当 a 与 b 反向时，a·b＝－，特别地 a·a＝或＝．(3)cos θ＝．(4)≤．2．a·b 的几何意义：数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影 cos _θ 的乘积 ．3．向量的数量积满足下列运算律：已知向量 a，b，c 与实数 λ，(1)a·b＝b · a (交换律)．(2)·b＝λ ( a · b ) ＝ a ·( λb ) (结合律)．(3 )·c＝a · c ＋ b · c (分配律)．2．判断正误，并简要说明理由．①a·0＝0；② 0·a＝0；③ 0－AB＝BA；④|a·b|＝|a||b|；⑤若 a≠0，则对任一非零 b 有 a·b≠0；⑥ a·b＝0，则 a 与 b 中至少有一个为 0；⑦对任意向量 a，b，c 都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.解析：上述 8 个...