第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:一辆小车,在力 F 的作用下,从 A 处到 B 处拉动的位移为 s,那么请问力 F 在这个运动过程中所做的功?(1)力 F 所做的功 W= . (2)请同学们分析公式的特点:W(功)是 量,F(力)是 量,s(位移)是 量. (3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,我们把数量 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 . 问题 2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?问题 3:数量积的几何意义是什么?2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)当
=0 时, ;当=180°时, . (2)cos= . (3)当 b=a 时,有=0,所以 a·a=|a||a|= ,即|a|= . (4) 当 =90° 时 ,a⊥b, 因 此 ,a·b=cos90°=0, 因 此 对 非 零 向 量 a,b, 有 ⇔a⊥b. 3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:(1) (2) (3) 注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b)·c.三、运用规律,解决问题1【例 1】判断下列各题正确与否:(1)若 a=0,则对任一向量 b,有 a·b=0.( )(2)若 a≠0,则对任一非零向量 b,有 a·b≠0.( )(3)若 a≠0,a·b=0,则 b=0.( )(4)若 a·b=0,则 a,b 至少有一个为零.( )(5)若 a≠0,a·b=a·c,则 b=c.( )(6)若 a·b=a·c,则 b=c 当且仅当 a≠0 时成立.( )(7)对任意向量 a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c). ( )(8)对任意向量 a,有 a2=|a|2 .( )【例 2】已知=5,=4,向量 a 与 b 的夹角是 120°,求 a·b.【例 3】已知|a|=|b|=,a·b=-,求.【例 4】已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.四、变式演练,深化提高练习 1:四边...
