第二章 数列2.2 等差数列2.2 等差数列(第 2 课时)学习目标在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.合作学习一、设计问题,创设情境在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?二、信息交流,揭示规律1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,( ),4;(2)-12,( ),0;(3)a,( ),b.2.等差中项定义由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 A 叫做 a 与 b 的等差中项.符号表示:2A=a+b⇒A= . 【思考】(1)在等差数列{an}中,是否有 2an+1=an+an+2成立?等差数列又可以怎么叙述?从第 2 项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.3.等差数列的性质问题 1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.性质 1:若数列{an}是等差数列,公差为 d.若 d>0,则{an}是递增数列;若 d<0,则{an}是递减数列;若 d=0,则{an}是常数列.问题 2:探究等差数列{an}中任意两项 an,am之间的关系.它们之间的关系可表示为 . 由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:an=am+(n-m)d公差的另一种表示:d=,性质 2:an=am+(n-m)d,d=.问题 3:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 一定成立吗?特别地,m+n=2k,则am+an=2ak成立吗?性质 3:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.三、运用规律,解决问题4.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q,其中 p,q 为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?证明你的结论.5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列{an}的通项公式.四、变式训练,深化提高6.三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数.7.已知 a,b,c 成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b 也成等差数列.五、反思小结,观点提炼参考答案二、信息交流,揭示规律1.(1)3 (2)-6 (3)2.问题 1:略问题 2:an=am+(n-m)d分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项公式.解:由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,得am=a1+(m-1)d.an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d,∴an=am+(n-m)d.即等式成立.问题 3:am+an=ap...
