第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．一、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 a＝，b＝，a·b＝x1x2＋ y 1y2(坐标形式)．这就是说，(文字语言)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．练习 1：a＝(2，3)，b＝(－2，4)，则(a＋b)·(a－b)＝－ 7 ．1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设 i，j 分别是和 x 轴、y 轴同向的单位向量 ，则 i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2.数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．二、平面向量的模、夹角的坐标表示1．平面内两点间的距离公式．(1)设 a＝(x，y)，则＝_x 2 ＋ y 2 或＝．(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 A，B，则＝(平面内两点间的距离公式)．2．向量垂直的判定．设 a＝，b＝，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ．3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)．cos θ＝＝．练习 2：已知 a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则 a 与 b 的夹角是．2．怎样求向量的投影？试求向量 a＝(1，2)在向量 b＝(2，－2)方向上的投影．分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．解析：设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则cos θ＝＝＝－.∴a 在 b 方向上的投影为| a|cos θ＝×＝－.1．已知 a＝，b＝，则＝5，＝，a·b＝－ 7 ．2．已知 a＝，b＝，c＝，则 a·＝－ 3 ． 3．在四边形 ABCD 中，AC＝(1，2)，BD＝ (－4，2)，则四边形 ABCD 的面积为(C)A. B．2 C．5 D．10解析： AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC⊥BD，∴S 四边形 ABCD＝|AC|·|BD|＝××2＝5.4．若 a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为(A)A. B. C. D.解析：a 在 b 方向上的投影为＝＝.故选 A1．设 m，n 是两 个非零向量，m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下不等式与 m⊥n 等价的个数有(D)①m·n＝0；② ...
