第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:(1)设单位向量 i,j 分别与平面直角坐标系中的 x 轴、y 轴方向相同,O 为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是 ,若向量 a=(1,-2),则向量 a 可用 i,j 表示为 ; (2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且 a=3i+2j,b=i-j,则 a·b= . 二、信息交流,揭示规律问题 2:已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标来表示 a·b 呢?问题 3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设 a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|= . (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式). 3.向量垂直的判定设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔ . 4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cosθ== . 三、运用规律,解决问题【例 1】已知 a=(-1,),b=(,-1),求 a·b,|a|,|b|,a 与 b 的夹角 θ.【例 2】已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.【例 3】在 Rt△OAB 中,=(2,3),=(1,k),求实数 k 的值.四、变式演练,深化提高1练习:已知 a=(3,-1),b=(1,2),求满足 x·a=9 与 x·b=-4 的向量 x.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业P108习题 2.4A 组第 9,10,11 题.参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:(1)(3,2) a=i-2j (2)1二、信息交流,揭示规律问 题 2: 设 向 量 i,j 分 别 为 平 面 直 角 坐 标 系 x 轴 、 y 轴 上 的 单 位 向 量 , 则 有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得1.a·b=x1x2+y1y2.问题 3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例 1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,|a|==2,|b|==2,cosθ==-,因为 0≤θ≤π,所以 θ=.【例 2】解:△ABC 是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1×(-3)+1×3=0,所以,所以△ABC 是直角三角形.【例 3】解:(1)若∠AOB=90°,则,所以 2+3k=0 可得 k=-;(2)若∠OAB=90°,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以 2-3(k-3)=0,从而 k=;(3)若∠OBA=90°,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),2因为-1-k(3-k)=0,所以 k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设 x=(t,s),由所以 x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.3
