2．3.2 矩阵乘法的简单性质1．矩阵的乘法只具有 结合律，即(AB)C＝A(BC)，不满足交换律和消去律，即AB≠BA，若 AB＝AC，则一般情况下 B≠C.2．二阶矩阵的幂 Mn＝矩阵乘法的性质[例 1] (1)设 A＝，B＝，验证：若 AB≠BA，则(AB)2≠A2B2；(2)求证：当 AB＝BA 时，(AB)2＝A2B2，(其中 A、B 均为二阶矩阵)．[思路点拨] (1)利用矩阵乘法法则直接验证；(2)依据条件，利用矩阵的乘法具有结合律进行验证．[精解详析] (1)AB＝ ＝，BA＝ ＝，∴AB≠BA.A2＝ ＝ ＝，B2＝＝ ＝，∴A2B2＝ ＝.又 (AB)2＝ ＝ ＝，∴(AB)2≠A2B2.故若 AB≠BA，则(AB)2≠A2B2.(2) AB＝BA，∴(AB)2＝(AB)(AB)＝A(BA)B＝A(AB)B＝(AA)(BB)＝A2B2.(1)矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．(2)根据矩阵乘法满足结合律可知，多个矩阵相乘时，无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果．1．计算 .解：原式＝ ＝ ＝.2．设 A＝，B＝，C＝，求 A(BC)和(AB)C，并判断它们是否满足结合律．解：因为 BC＝ ＝，AB＝ ＝，所以 A(BC)＝ ＝，(AB)C＝ ＝.显然，有 A(BC)＝(AB)C.因此满足结合律.二阶矩阵的幂运算[例 2] 设 A＝，求 A2，A3，猜想 An(n∈N*)并证明你的猜想．[思路点拨] 先利用矩阵乘法法则求 A2、A3，猜想 An，然后用数学归纳法证明．[精解详析] A2＝ ＝，A3＝A2A＝ ＝，猜想 An＝其中 n∈N*，n≥2.下面用数学归纳法证之：(1)当 n＝2 时，由以上计算可知猜想成立．(2)假设 n＝k 时猜想成立，即 Ak＝.当 n＝k＋1 时，Ak＋1＝Ak·A＝ ＝，故 n＝k＋1 时猜想也成立．由(1)和(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)，都有 An＝.求矩阵具体数幂的运算可依据 Mn＝ 求解．若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之．3．计算 4.解：4＝ ＝ ＝ ＝.4．已知 A＝，求 A2，A3，并据此猜想 An(n≥2，n∈N*)，并加以证明．解：A2＝ ＝＝.A3＝A2·A＝ ＝＝.据此猜想 An＝.下面用数学归纳法证明：(1)由以上可知当 n＝2 时，猜想成立．(2)假设 n＝k(k≥2)时，猜想成立．即 Ak＝.当 n＝k＋1 时，Ak＋1＝Ak·A＝ ＝＝.即 n＝k＋1 时，命题也成立．由(1)(2)可知对一切 n≥2，n∈N*都有An＝.1．已知 A＝，B＝，C＝，计算 AB，AC.解：AB＝ ＝，AC＝ ＝.2．已知矩阵 A＝，求 A4，A5，A9.解：因为 A2＝ ＝，所以A4＝A2·A2＝ ＝，A5＝A·A4＝ ＝.A9＝A4·A5＝ ＝.3．求使等式＝M 成立的二阶矩阵 M....
