3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（结）命题方向 1 用倍角公式化简例 1 化简三角函数式：－2.[分析] 将根号下的式子化为完全平方式，再开出来运算． [解析] 原式＝－2＝2|cos4|－2|sin4＋cos4|，∵π<4<，∴cos4<0，sin4＋cos4<0.∴原式＝－2cos4＋2(sin4＋cos4)＝2sin4.命题方向 2 用倍角公式求值例 2. 求值：sin50°(1＋tan10°)．[分析] (1)“切”化“弦”，(2)异角化同角．[解析] 原式＝sin50°(1＋)＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.命题方向 3 用倍角公式证明三角恒等式例 3 求证：＝.[分析] 特证式子两边都较复杂，且角出现四倍角和单角，若直接证明较复杂，可将要证式子变形，发现＝tan2θ，所以只要证明式子 1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)即可．[证明] 原式变形为 1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①而①式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，∴① 式成立，即原式得证．命题方向 4 二倍角公式与向量、函数的综合问题例 4. 已知向量 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数 f(x)＝a·b.(1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值；(2)若 f(θ)＝，求 cos2(－2θ)的值．[分析] 用向量数量积表示出 f(x)转化成三角函数问题求解．[解析] (1)因为 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所以 f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝sin(2x－)＋1.因此，当 2x－＝2kπ＋，即 x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.(2)由 f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ 及 f(θ)＝得 sin2θ－cos2θ＝，两边平方得 1－sin4θ＝，即 sin4θ＝.因此，cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.
